Pengertian barisan aritmatika adalah materi yang biasa ditemukan pada pelajaran Matematika. Barisan aritmatika dapat berupa barisan naik atau barisan turun.
Dikatakan barisan naik apabila beda atau selisih barisan tersebut bernilai positif. Sebaliknya, bila beda bernilai negatif, maka barisan itu adalah barisan turun. Bagaimana dengan contoh penyelesaian soalnya?
Apa Itu Barisan Aritmatika?
Menurut polanya, barisan bilangan terbagi menjadi dua, yakni barisan aritmatika (barisan hitungan) dan barisan geometri (barisan ukur). Untuk pengertian barisan aritmatika sendiri dapat dipahami melalui uraian berikut.
Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan dengan beda atau selisih yang tetap di antara dua suku barisan yang berurutan. Misalnya, diketahui barisan bilangan seperti berikut.
1 4 7 10 13 16 19 22
Bila dihitung berurutan, barisan tersebut memiliki beda atau selisih sebesar 3 di antara dua suku sebelum dan sesudahnya. Maka, barisan itu dapat disebut sebagai barisan aritmatika. Bagaimana dengan barisan berikut ini?
8 4 0 -4 -8 -12 -15 -20
Barisan tersebut juga memiliki beda atau selisih yang tidak berubah di antara dua sukunya yang berurutan, yakni -4. Maka, barisan itu dapat dikatakan sebagai barisan aritmatika. Maka, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmatika mempunyai “beda atau selisih” yang tetap.
Rumus Barisan Aritmatika
Selain pemaparan tentang pengertian barisan aritmatika, dari barisan yang ada dapat pula diketahui rumusnya. Pertama-tama, perhatikan barisan bilangan di bawah ini terlebih dahulu.
U1, U2, U3, U4, U5, … Un-1, Un
Melalui barisan tersebut, maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
- U1 = a (suku pertama, diberi lambang dengan huruf a)
- U2 = U1 + b = a + b
- U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
- U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
- U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
- Un = Un-1 + b = (a + (n – 2)b) + b = a + (n – 1)b
Maka, dapat disimpulkan bahwa rumus barisan aritmatika adalah sebagai berikut.
Un = a + (n – 1)b
Kemudian, untuk mencari beda atau selisih dalam suatu barisan aritmatika, dapat ditemukan dengan memperhatikan uraian berikut ini terlebih dahulu.
- U2 = U1 + b, maka b = U2 – U1
- U3 = U2 + b, maka b = U3 – U2
- U4 = U3 + b, maka b = U4 – U3
- U5 = U4 + b, maka b = U5 – U4
- Un = Un-1 + b, maka b = Un – Un-1
Maka, dapat disimpulkan bahwa rumus mencari beda atau selisih dalam barisan aritmatika adalah sebagai berikut.
b = Un – Un-1
Contoh Barisan Aritmatika
Untuk memahami lebih dalam lagi mengenai barisan aritmatika, beberapa soal berikut ini dapat dijadikan sebagai latihan.
1. Contoh Soal 1
Suku ke-30 dari barisan 9, 6, 3, 0, -3, … adalah…
Penyelesaian:
a = 9
b = U2 – U1 = 6 – 9 = -3
Un = a + (n – 1)b
U30 = 9 + (30 – 1)(-3)
U30 = 9 + 29(-3)
U30 = 9 + (-87)
U30 = -78
Maka, suku ke-30 dari barisan aritmatika tersebut ialah -78.
2. Contoh Soal 2
Rumus suku ke-n untuk barisan 12, 6, 0, -6, -12, … adalah…
Penyelesaian:
a = 12
b = U2 – U1 = 6 – 12 = -6
Un = a + (n – 1)b
Un = 12 + (n – 1)(-6)
Un = 12 + (-6n) + 6
Un = 12 – 6n + 6
Un = 18 – 6n.
Maka, rumus untuk barisan aritmatika tersebut ialah Un = 18 – 6n.
3. Contoh Soal 3
Di dalam suatu bangunan, tersusun kursi di mana baris paling depan terdapat 12 kursi, baris ke dua ada 17 kursi, dan baris ke tiga ada 22 kursi. Ada berapa kursi yang berada di baris ke-20?
Penyelesaian:
Barisan: 12, 17, 22, …
a = 12
b = U2 – U1 = 17 – 12 = 5
Un = a + (n – 1)b
U20 = 12 + (20 – 1)(5)
U20 = 12 + 19(5)
U20 = 12 + 95
U20 = 107
Maka, banyak kursi yang ada pada baris ke-20 ialah 107 kursi.
4. Contoh Soal 4
Tiap bulan, Budi selalu menabung di bank. Di bulan pertama, ia menabung sebesar Rp50.000. Bulan berikutnya ia menabung sebesar Rp60.000, dan bulan ke tiga ia menabung sebesar Rp70.000. Setiap bulan Budi selalu menabung lebih Rp10.000.
a. Berapa susunan uang tabungan Budi selama 10 bulan pertama?
b. Berapa uang yang ditabung Budi pada bulan ke-20?
Penyelesaian.
a. Susunan uang tabungan Budi selama 10 bulan pertama ialah seperti berikut.
Rp50.000, Rp60.000, Rp70.000, Rp80.000, Rp90.000, Rp100.000, Rp110.000, Rp120.000, Rp130.000, Rp140.000.
b. Uang yang ditabung Budi di bulan ke-20 ialah seperti berikut.
a = 50.000
b = 10.000
Un = a + (n – 1)b
U20 = 50.000 + (20 – 1)(10.000)
U20 = 50.000 + 19(10.000)
U20 = 50.000 + 190.000
U20 = 240.000
Maka, uang yang ditabung Budi pada bulan ke-20 adalah sebesar Rp240.000.
5. Contoh Soal 5
Suatu barisan aritmatika mempunyai suku pertama 7 dan suku ke delapan 63. Tentukanlah beda barisan dan suku ke sebelas barisan tersebut!
Penyelesaian:
a = 7
U8 = 63
Un = a + (n – 1)b
U8 = 7 + (8-1)b
63 = 7 + 7b
63 – 7 = 7b
56 = 7b
b = 8
U11 = a + (11 – 1)b
U11 = 7 + 10(8)
U11 = 7 + 80
U11 = 87
Berdasarkan pengertian barisan aritmatika, rumus, dan contoh soalnya, maka dapat dilihat bahwa barisan ini adalah barisan dengan beda atau selisih yang tetap di antara tiap sukunya.
Apabila satu komponen tidak diketahui, komponen tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus yang ada.